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Γ(z+1) = zΓ(z)

文章編號:4894時間:2024-09-12人氣:


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Γ 函數是一個在復平面上的特殊函數,在數學和物理中有著廣泛的應用。它具有以下遞推關系:

Γ(z+1) = zΓ(z)

這個關系可以通過積分表示來證明:

Γ(z+1) = ∫ 0 t z e -t dt
使用積分 by parts:
Γ(z+1) = - t z e -t | 0 + z∫ 0 t z-1 e -t dt
顯然,第一個項為 0,因此:
Γ(z+1) = z∫ 0 = t z-1 e -t dt
t = u 帶入積分,得到:
Γ(z+1) = z∫ 0 u z-1 e zΓ -u du
Γ(z+1) = zΓ(z)

應用

Gamma 函數的遞推關系在數學和物理中有著廣泛的應用,包括:
  • 求解積分和級數
  • 計算特殊函數,如正態分布和超幾何分布
  • 解微分方程
  • 統計學和概率論
  • 量子力學

結論

Gamma 函數的遞推關系是一個重要的數學工具,在理解和求解各種問題中有著廣泛的應用。它為數學家、物理學家和工程師提供了一種通過遞推來計算 Γ 函數值的方法。

相關標簽: z、 Γ、 1、 =、 z、

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